Les histoires de maths (HdM) sont des petites fiches sur un sujet donné que je distribue à mes élèves. L'objectif n'est pas nécessairement de détailler à l'extrême le sujet en question ou même de le faire comprendre aux élèves (le niveau étant parfois bien trop élevé pour des collégiens) mais plutôt de leur permettre de découvrir des notions en tentant de mentionner des anecdotes intéressantes ou amusantes. En ce sens, ce ne sont pas des fiches d'« Histoire des mathématiques » mais bien des fiches d'« Histoires sur les mathématiques », d'où leur appellation.

Chaque fiche est consultable sous forme d'article sur le site, puis téléchargeable au format .pdf en bas de page.

Bonne lecture !

Notre perception du monde

Flatland - E. A. AbbottFlatland - E. A. AbbottL’homme est habitué à vivre dans un monde en 3 dimensions : l'avant et l'arrière, la gauche et la droite, le haut et le bas. Mais comment être certain qu’il n’y a réellement que 3 dimensions autour de nous ? Il est possible que nos cinq sens nous condamnent à ne jamais percevoir des dimensions supérieures pourtant réelles...

Il y a plus d’un siècle, le professeur et théologien anglais Edwin A. Abbott écrivit le livre Flatland (Terre plate) pour aider les lecteurs à imaginer une 4e dimension. Dans ce livre, il raconte l’histoire de créatures en 2D vivant dans un univers plat qui sont confrontées à des créatures venant de l’espace, c'est-à-dire d'un monde en 3D comme le nôtre.

On comprend assez vite qu’une créature en 3D a d’énormes avantages sur celles d’un monde en 2D. En utilisant la 3e dimension (monter/descendre, se lever/se baisser, regarder par dessus/par dessous), elle peut voir à l’intérieur des maisons et des corps, libérer une personne de prison en la soulevant et en la posant juste à côté sans que celle-ci ne comprenne ce qui lui arrive etc.

Promenade en dimension inconnue

Les probabilités d'aller à gauche/droite valent \(\dfrac{1}{2}\).Les probabilités d'aller à gauche/droite valent \(\dfrac{1}{2}\).Un voyageur marche sur une ligne droite (dimension 1) et chaque seconde, il fait au hasard un pas en avant ou en arrière. Retournera-t-il un jour à son point de départ ?

Le mathématicien hongrois George Polya prouva en 1921 que le voyageur retourne de manière quasi certaine, un jour ou l’autre, à son point de départ.

 

Les probabilités valent chacune \(\dfrac{1}{4}\).Les probabilités valent chacune \(\dfrac{1}{4}\).
Qu’en est-t-il en dimension 2 ?

On considère un voyageur qui se promène cette fois sur un « carré infini » et qui chaque seconde, effectue au hasard un pas en avant, en arrière, sur la gauche ou sur la droite. Dans ce cas là aussi le voyageur revient de manière quasi certaine, à un moment ou à un autre, à son point de départ.

 

 

Ne surtout pas se tromper de route...Ne surtout pas se tromper de route...Mais Polya montra que tout n’est pas si simple dans notre espace en 3 dimensions. Un voyageur qui se déplacerait au hasard sans s’arrêter dans un tel espace aurait seulement \(34~\%\) de chances de revenir un jour à son point de départ.

Dans un espace de dimension \(n\), cette probabilité est de \(\dfrac{1}{2n}\).

En résumé, plus la dimension de l’espace augmente, plus le voyageur a de chances de se perdre à jamais dans l’hyperespace...

On peut légitimement se demander pourquoi un tel changement intervient à partir de la dimension 3 et pas en dimensions 1 ou 2 ou dans des dimensions supérieures. Mais cela, nous ne le saurons probablement jamais...

 

 

 

 

Ajouter un Commentaire


Code de sécurité
Rafraîchir