Les histoires de maths (HdM) sont des petites fiches sur un sujet donné que je distribue à mes élèves. L'objectif n'est pas nécessairement de détailler à l'extrême le sujet en question ou même de le faire comprendre aux élèves (le niveau étant parfois bien trop élevé pour des collégiens) mais plutôt de leur permettre de découvrir des notions en tentant de mentionner des anecdotes intéressantes ou amusantes. En ce sens, ce ne sont pas des fiches d'« Histoire des mathématiques » mais bien des fiches d'« Histoires sur les mathématiques », d'où leur appellation.

Chaque fiche est consultable sous forme d'article sur le site, puis téléchargeable au format .pdf en bas de page.

Bonne lecture !

L’intuition est une capacité très utile à l’homme. Elle permet de deviner sans savoir, de comprendre sans connaître. Mais elle peut rapidement devenir un frein, voire une barrière à la connaissance si l’on qualifie d’évidence tout ce qui a trait à l’intuition.

Un vilain tour

Le diamètre d’un ballon de basket officiel est d'environ 24 centimètres.

Une corde de \(2\times\pi\times12 \simeq 75\) cm de longueur est nécessaire pour entourer un grand cercle d'un tel ballon.

 

Question à méditer : si l’on souhaitait maintenant laisser une distance de 1 mètre entre la corde et le ballon tout autour de celui-ci, de quelle longueur devrait-on allonger la corde ?

 

 Corde autour du ballonCorde autour du ballon Corde à 1 m autour du ballonCorde à 1 m autour du ballon 



Planète TerrePlanète TerreOn imagine maintenant la même situation en remplaçant le ballon de football par la planète Terre.

 

Quelques données pour se faire une idée :

- la Terre a un rayon d'environ \(6371\) km ;

- il faut une corde d'à peu près \(40\,075\) km pour en faire le tour au niveau de l'équateur.

 

Question à méditer : de quelle longueur devrait-on allonger la corde pour qu'elle se trouve à

1 mètre du sol partout autour de la Terre ?

 

Quelques calculs pour être sûr...

Intuitivement, on aurait tendance à dire qu’il faut davantage augmenter la taille de la corde dans le cas de la Terre car celle-ci est beaucoup plus grosse que le ballon. En fait, il n’en est rien.

La longueur \(L\) d’un cercle vaut : \(L = 2\pi r\) où \(r\) désigne le rayon du cercle.

 

Cas du ballon

La longueur de la corde autour du ballon est :  \(L_1 \simeq 2\times\pi\times0,12 \simeq 0,754\) mètre. 
La longueur de la corde à 1 mètre autour du ballon est : \(L_2 \simeq 2\times\pi\times (0,12+1) \simeq 7,037\) mètres.
Différence (approximative) entre les deux longueurs : \(7,037-0,754 \simeq 6,28\) mètres.

 

Cas de la Terre

La longueur de la corde autour de la Terre est : \(L_1 \simeq 2\times\pi\times 6\,400\,000 \simeq 40\,212\,385,97\) mètres.
La longueur de la corde à 1 mètre autour de la Terre est : \(L_2 \simeq 2\times\pi\times (6\,400\,000+1) \simeq 40\,212\,392,25\) mètres.
Différence (approximative) entre les deux longueurs : \(40\,212\,392,25-40\,212\,385,97 = 6,28\) mètres.

 

Conclusion : dans les deux cas, il faut augmenter la corde de la même longueur. Cette longueur d'environ \(6,28\) m correspond en fait au nombre \(2\pi\).

 

En effet, pour un objet sphérique de rayon quelconque \(r\), le calcul précédent s'écrit :     \(2\pi(r+1) - 2\pi r = 2\pi\).

 

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