Les histoires de maths (HdM) sont des petites fiches sur un sujet donné que je distribue à mes élèves. L'objectif n'est pas nécessairement de détailler à l'extrême le sujet en question ou même de le faire comprendre aux élèves (le niveau étant parfois bien trop élevé pour des collégiens) mais plutôt de leur permettre de découvrir des notions en tentant de mentionner des anecdotes intéressantes ou amusantes. En ce sens, ce ne sont pas des fiches d'« Histoire des mathématiques » mais bien des fiches d'« Histoires sur les mathématiques », d'où leur appellation.

Chaque fiche est consultable sous forme d'article sur le site, puis téléchargeable au format .pdf en bas de page.

Bonne lecture !

Pendant des siècles, les cartographes ont pressenti, mais sans en avoir la certitude, que quatre couleurs suffiraient à colorier une carte de manière à ce que deux régions distinctes ayant une frontière commune non réduite à un point n’aient pas la même couleur. Ce problème qui semble accessible recèle pourtant des trésors de complexité…

La Slovaquie nous éclaire

carte slovaquie 4 couleursLe cas de la Pologne pose problème (IGN 2012 - Licence ouverte)

Et pourquoi pas trois couleurs ? Le cas de la Slovaquie nous renseigne sur ce point : il est absolument impossible, comme le montre la carte ci-contre, de colorier la Slovaquie et les cinq pays limitrophes avec seulement trois couleurs. En effet, on doit choisir une couleur pour la Slovaquie au centre, puis on est obligé d'alterner les couleurs restantes pour les pays alentours. La Pologne est nécessairement frontalière de trois pays coloriés avec trois couleurs différentes.

 

Un minimum de quatre couleurs est donc nécessaire pour colorier une carte.

 

 

L'informatique prend le relais

Francis Guthrie (1931 - 1899)Francis Guthrie (1931 - 1899)En 1852, alors qu'il colorie une carte des comtés d'Angleterre, le mathématicien et botaniste sud-africain Francis Guthrie (1831-1899) conjecture que quatre couleurs suffisent pour colorier n'importe quelle carte.

 

Durant le XXe siècle, beaucoup de travaux furent consacrés à la démonstration du théorème des quatre couleurs mais c’est seulement en 1976 qu’il fut prouvé par les mathématiciens Kenneth Appel (1932 -) et Wolfgang Haken (1928 -) à l’aide d’un ordinateur. Les deux chercheurs ont ramené l’étude du problème à celle de certaines configurations particulières. L’ordinateur a permis d’établir la liste de ces configurations et de vérifier, pour chacune d’entre elles, qu’elle pouvait effectivement être coloriée avec quatre couleurs seulement.

 

 

Carte des régions de France métropolitaine coloriée avec quatre couleursCarte des régions de France métropolitaine coloriée avec quatre couleurs (IGN 2012 - Licence ouverte)Aujourd’hui, les ordinateurs et leur puissance de calcul jouent un rôle de plus en plus important en mathématiques et assistent les mathématiciens dans leurs démonstrations parfois si complexes qu’elles défient l’entendement humain.

 

De manière surprenante, ce théorème n’a eu qu’un très faible impact sur les éditeurs de cartes qui continuent à utiliser régulièrement bien plus de couleurs que nécessaire dans leurs ouvrages. Cela se justifie pour des cartes légendées dans lesquelles les couleurs ont des signifcations particulières mais n'a pas grand intérêt dans des atlas dont le seul objectif est de représenter différentes régions et leurs frontières.

 

Quoi qu'il en soit, ce théorème a soulevé une question essentielle qui fait encore débat :

 

« Quel crédit peut-on accorder à une preuve faite en partie par une machine ? »

 

Sources : les cartes présentes dans cet article sont des modifications personnelles de fonds de carte téléchargeables sur le site de l'IGN à l'adresse http://education.ign.fr/ressources/fonds-de-cartes

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