Les histoires de maths (HdM) sont des petites fiches sur un sujet donné que je distribue à mes élèves. L'objectif n'est pas nécessairement de détailler à l'extrême le sujet en question ou même de le faire comprendre aux élèves (le niveau étant parfois bien trop élevé pour des collégiens) mais plutôt de leur permettre de découvrir des notions en tentant de mentionner des anecdotes intéressantes ou amusantes. En ce sens, ce ne sont pas des fiches d'« Histoire des mathématiques » mais bien des fiches d'« Histoires sur les mathématiques », d'où leur appellation.

Chaque fiche est consultable sous forme d'article sur le site, puis téléchargeable au format .pdf en bas de page.

Bonne lecture !

Pierre de Fermat (début XVIIe s. - 1665)Pierre de Fermat (début XVIIe s. - 1665)La scène se déroule en France aux alentours de 1640. Pierre de Fermat, un juriste et mathématicien « amateur » français lit un exemplaire de l’Arithmétique de Diophante. Il annote, commente, émet des hypothèses… Alors que Diophante expose une méthode pour déterminer tous les nombres \(x\), \(y\), \(z\) entiers naturels tels que \(x^2+y^2=z^2\) (de tels nombres forment un triplet pythagoricien), Fermat écrit dans la marge un résultat qui bouleversera le monde mathématique pendant des siècles :

« Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »

 

Énoncé simple, démonstration impossible... ou presque

La citation de Fermat exprime un théorème connu aujourd’hui sous le nom de dernier théorème de Fermat, que l’on peut formuler de manière simple :

Il n'existe pas d'entiers positifs non tous nuls \(x\), \(y\) et \(z\) vérifiant \(x^n+y^n=z^n\) pour \(n \in \mathbb{N},~n>2\). 

 

Andrew Wiles (1953 - )Andrew Wiles (1953 - )On estime aujourd’hui que la « preuve » à laquelle Fermat faisait allusion dans son annotation était erronée car, malgré la simplicité de l'énoncé du théorème, il fallut attendre 1995 pour qu’une démonstration correcte en soit donnée par le mathématicien Andrew Wiles, malgré une première tentative ratée deux ans plus tôt. En tout, sept années de travail ont été nécessaires à Wiles pour réaliser cet exploit.

 

 

Des théories improbables

Le plus surprenant dans la preuve de Wiles est qu’il utilise des branches des mathématiques a priori sans rapport avec l’énoncé initial du théorème. C’est là un procédé récurrent en mathématiques : la reformulation.

On exprime un problème dans un cadre différent pour utiliser les outils de ce nouveau cadre. Wiles a eu en particulier recours aux courbes elliptiques et aux fonctions modulaires.

Courbe elliptique (à gauche) / Symétries d'une forme modulaire (à droite)Courbe elliptique (à gauche) / Symétries d'une forme modulaire (à droite)

Un véritable stimulant

Le dernier théorème de Fermat a donné lieu à d'importantes recherches mathématiques et les nombreuses idées utilisées par Wiles dans sa preuve ont permis de mieux connaître certaines branches des mathématiques.

D'après Amir Aczel, mathématicien et journaliste scientifique américain, le dernier théorème de Fermat « allait devenir le mystère mathématique le plus déroutant au monde. Simple, élégant et [en apparence] totalement impossible à prouver, il captiva l'imagination des mathématiciens amateurs aussi bien que professionnels pendant plus de trois siècles. Pour certains, il devint une merveilleuse passion. Pour d'autres, il se transforma en une obsession qui conduisit parfois à la folie ».

 

Source pour la citation : Le beau livre des maths, Clifford A. Pickover.

 

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