Les histoires de maths (HdM) sont des petites fiches sur un sujet donné que je distribue à mes élèves. L'objectif n'est pas nécessairement de détailler à l'extrême le sujet en question ou même de le faire comprendre aux élèves (le niveau étant parfois bien trop élevé pour des collégiens) mais plutôt de leur permettre de découvrir des notions en tentant de mentionner des anecdotes intéressantes ou amusantes. En ce sens, ce ne sont pas des fiches d'« Histoire des mathématiques » mais bien des fiches d'« Histoires sur les mathématiques », d'où leur appellation.

Chaque fiche est consultable sous forme d'article sur le site, puis téléchargeable au format .pdf en bas de page.

Bonne lecture !

La méthode de Monte-Carlo est une méthode probabiliste permettant d'estimer certains paramètres à l'aide de simulations. Utilisons la dans un cas simple pour comprendre comment elle peut nous aider à estimer la surface d'une figure géométrique.

Aire et probabilité

Considérons le rectangle ci-dessous. Il est partagé en deux parties égales A et B.

rectangle AB

La probabilité qu'un point placé au hasard dans ce rectangle appartienne à la zone A est donc \(p=\frac{1}{2}\) (une chance sur deux).

Cela traduit simplement le fait que l'aire de A est la moitié de l'aire du rectangle. On a ainsi la relation
    
    \(\mathcal{A}_{\textrm{ire}}(A) = \frac{1}{2}\times\mathcal{A}_{\textrm{ire}}(\textrm{rectangle})\)  qui s'écrit aussi  \(\mathcal{A}_{\textrm{ire}}(A) = p\times\mathcal{A}_{\textrm{ire}}(\textrm{rectangle})\).

On peut maintenant raisonner dans l'autre sens : si je connais \(p\) et l'aire du rectangle, je peux trouver l'aire de A. Mais comment déterminer \(p\) ? Rien de plus simple si l'on se souvient qu'une probabilité n'est rien d'autre qu'une « fréquence limite »...

Estimation de \(\pi\)

On veut estimer \(\pi\) qui est l'aire d'un disque de rayon \(1.\) On inscrit ce disque dans un carré de côté \(2\), donc d'aire \(4\). D'après le paragraphe précédent, on a l'égalité \(\pi = p\times4\) où \(p\) est la probabilité qu'un point placé au hasard dans le carré soit à l'intérieur du disque.

Il ne nous reste plus qu'à estimer \(p\). Pour cela, on peut effectuer une simulation à l'aide d'un tableur par exemple. On effectue \(n\) fois l'expérience aléatoire suivante : tirer un point au hasard dans le carré, vérifier s'il est dans le cercle. La fréquence des points appartenant au disque tend vers \(p\) lorsque le nombre de lancers tend vers \(+\infty\).

Voici quelques simulations pour mieux visualiser le procédé :

estimation pi

On remarque qu'il faut faire beaucoup de lancers pour obtenir une estimation viable de \(\pi\).

Estimation d'une intégrale

On peut, par le même procédé, estimer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle, c'est-à dire l'aire sous la courbe de la fonction sur cet intervalle.

estimation integrale

Cela ramène le calcul parfois difficile ou impossible d'une primitive à l'étude d'une inéquation pour savoir si un point tiré au hasard dans le rectangle est bien sous la courbe.

Comme souvent en mathématiques, on déplace une difficulté a priori insurmontable dans un champ où de nouveaux outils mathématiques nous permettent de l'affronter.

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