Les histoires de maths (HdM) sont des petites fiches sur un sujet donné que je distribue à mes élèves. L'objectif n'est pas nécessairement de détailler à l'extrême le sujet en question ou même de le faire comprendre aux élèves (le niveau étant parfois bien trop élevé pour des collégiens) mais plutôt de leur permettre de découvrir des notions en tentant de mentionner des anecdotes intéressantes ou amusantes. En ce sens, ce ne sont pas des fiches d'« Histoire des mathématiques » mais bien des fiches d'« Histoires sur les mathématiques », d'où leur appellation.

Chaque fiche est consultable sous forme d'article sur le site, puis téléchargeable au format .pdf en bas de page.

Bonne lecture !

Jeu des trois portes et énoncé du problème

Le problème de Monty Hall aussi nommé jeu des trois portes est une situation issue du jeu télévisé américain Let's Make a Deal présenté pendant des années par Monty Hall.

portesletsmakeadeal

 

 

 

 

 

 

 

1) Le présentateur explique au joueur que derrière l'une des trois portes du plateau se cache une voiture et que derrière les deux autres se trouvent des chèvres puis demande au joueur de choisir une porte sans l'ouvrir.

2) Le présentateur ouvre ensuite, parmi les deux portes restantes, une porte derrière laquelle se trouve une chèvre.

3) Il propose au joueur un choix : conserver la porte choisie au départ ou changer pour l'autre porte restante.

Problème : quelle stratégie doit adopter le joueur pour maximiser ses chances de gagner ?

Lors du deuxième choix, contrairement à ce que souffle l'intuition, la stratégie du joueur a un impact sur ses chances de victoire. Le joueur a intérêt à changer de porte pour maximiser ses chances.

 

Arguments intuitif, empirique et rigoureux

a) Argument intuitif

Si le joueur adopte la stratégie du changement de porte, il perd s'il avait choisi la bonne porte au départ, ce qui arrive dans 1 cas sur 3 et il gagne s'il s'était trompé au départ, ce qui arrive dans 2 cas sur 3.

b) Argument empirique

On rappelle qu'une probabilité n'est rien d'autre qu'une fréquence limite. Si je jette un nombre gigantesque de fois une pièce de monnaie équilibrée, la fréquence d'apparition de pile s'approchera de \(0,5\) ce qui tend à confirmer que la probabilité d'obtenir pile est bien \(\frac{1}{2}\). Dans notre problème, une simulation à l'aide d'un tableur donne la probabilité de victoire pour chaque stratégie : conservation de porte \(\rightarrow\) \(\frac{1}{3}\), changement de porte \(\rightarrow\) \(\frac{2}{3}\), choix au hasard \(\rightarrow\) \(\frac{1}{2}\).

c) Stratégie du changement de porte : preuve à l'aide d'un arbre des possibles

arbre possibles

On décrit avec notre arbre les scénarii possibles (stratégie changement de porte) dans le cas où la voiture est derrière la porte A. Le raisonnement est identique dans les autres cas.

Le joueur perd dans les cas J Porte C et J Porte B.
Donc \(P(\textrm{chèvre}) = \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1 = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

En revanche, il gagne dans les deux cas J Porte A en vert.
Donc \(P(\textrm{voiture}) = \frac{1}{3}\times1\times1+\frac{1}{3}\times1\times1 = \frac{2}{3}\).

 

Recadrer l'intuition / Homme vs Pigeon

• Voici un argument intuitif récurrent : « Au \(2\)e choix il y a deux portes et une voiture, on a donc une chance sur deux de gagner. » C'est vrai uniquement si le joueur fait son \(2\)e choix au hasard. Si en revanche il a une information sur la position probable de la voiture, il peut tenir compte de cette information pour faire son choix et augmenter ses chances de victoire.
Par exemple, imaginons une pièce truquée qui a \(9\) chances sur \(10\) de tomber sur pile. Si le lanceur a cette information, il va toujours choisir pile et gagnera en moyenne \(9\) fois sur \(10\). Si en revanche il choisit au hasard, cela signifie qu'en moyenne, il choisira pile la moitié du temps et face l'autre moitié. Il gagnera donc (en moyenne) \(9\) fois sur \(10\) la moitié du temps et \(1\) fois sur \(10\) l'autre moitié. Ce qui revient à dire qu'il gagnera (en moyenne) la moitié du temps (\(1\) chance sur \(2\)).

• Pour bien saisir que le présentateur donne une information au joueur lorsqu'il ouvre la porte, on peut prendre l'exemple d'un jeu à \(100\) portes. Le joueur en choisit une. Tout le monde est d'accord pour dire qu'il n'a quasiment aucune chance d'avoir choisi la bonne (\(1\) sur \(100\)) et que la voiture est donc presque surement dans les \(99\) autres. Le présentateur ouvre alors toutes celles où il y a des chèvres parmi les \(99\) restantes. Il dit donc au joueur : « si la voiture est parmi ces \(99\) portes (ce qui est quasiment sûr), voilà où elle se trouve ! ». Dans notre exemple, la voiture a plus de chance d'être dans le groupe des deux portes non choisies par le joueur et cela reste vrai après ouverture d'une porte par le présentateur.
    
• Ce jeu a été testé sur des pigeons à qui on proposait de la nourriture au lieu d'une voiture. Au début, les pigeons changent de porte dans \(36\%\) des cas. Après plusieurs centaines d'essais, ce pourcentage monte à \(96\%\) : les pigeons apprennent de leurs erreurs. L'homme, quant à lui, ne change de porte que dans \(66\%\) des cas après plus de \(200\) essais...    Lien vers article
    
L'homme est pollué par sa difficulté à remettre en cause son intuition et par l'angoisse du regret : perdre en changeant de porte alors qu'il avait choisi la bonne au départ lui serait insupportable.

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