Les histoires de maths (HdM) sont des petites fiches sur un sujet donné que je distribue à mes élèves. L'objectif n'est pas nécessairement de détailler à l'extrême le sujet en question ou même de le faire comprendre aux élèves (le niveau étant parfois bien trop élevé pour des collégiens) mais plutôt de leur permettre de découvrir des notions en tentant de mentionner des anecdotes intéressantes ou amusantes. En ce sens, ce ne sont pas des fiches d'« Histoire des mathématiques » mais bien des fiches d'« Histoires sur les mathématiques », d'où leur appellation.

Chaque fiche est consultable sous forme d'article sur le site, puis téléchargeable au format .pdf en bas de page.

Bonne lecture !

Ératosthène (III s. av. J.-C.)

Au IIIe siècle avant notre ère, Ératosthène, astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec calcule avec une précision remarquable la circonférence de la Terre, c’est-à-dire la longueur d’un grand cercle (comme l’équateur) de la sphère terrestre.

Le raisonnement d’Ératosthène, quoiqu’extrêmement ingénieux, repose sur quelques résultats devenus élémentaires à notre époque…

 

Un principe simple

 

Ératosthène considère une vue en coupe de la Terre au niveau de l’équateur.

Sachant que la longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle correspondant (si l’on multiplie l’angle par 2, la longueur de l’arc de cercle sera elle aussi multipliée par 2 etc.), Ératosthène sait qu’il n’a qu’à trouver un angle (noté \(\alpha\)) quelconque et la longueur (notée \(L\)) de l’arc de cercle correspondant pour déterminer la circonférence (notée \(C\)) de la Terre grâce à un tableau de proportionnalité qu’il suffira de compléter :

 

proportionnalite angles terre LQ

 

Angle (en \(^\circ\)) \(\alpha\) \(360\)
Longueur de l'arc de cercle \(L\) \(C\)

 

 

À l'aide d'un simple produit en croix, on obtient :  

\(C = \dfrac{360\times L}{\alpha}\)

 

La touche du génie

Ératosthène s’intéresse à Syène (Assouan) et Alexandrie, deux villes suffisamment éloignées pour limiter les approximations, suffisamment proches pour autoriser une mesure de la distance qui les sépare.

angles alterne interne

1) Il remarque que lorsque le soleil est au zénith à Syène (pas d’ombre dans le puits \(S\)), les rayons du soleil forment un angle \(\theta=7,2^{\circ}\) avec le monument \(A\) d’Alexandrie.

 

2) Ératosthène suppose que les rayons du soleil sont parallèles. Il en déduit que les angles \(\alpha\) et \(\theta\) de son schéma sont des angles alternes-internes. Donc \(\alpha=\theta\).

 

3) Pour mesurer la distance Syène – Alexandrie, il fait appel à des arpenteurs de l’Égypte ancienne (bématistes) qui mesurent les distances à l’aide de chameaux. Le résultat obtenu est de \(5\,000\) stades (de \(157,5\) mètres chacun) donc d'environ \(787,5\) km.

 

En appliquant la formule encadrée plus haut, on obtient

 \(C= \dfrac{360\times787,5}{7,2}=39\,375\) km

.

Ce résultat est extrêmement proche de la valeur connue aujourd’hui qui est d’environ \(40\,075\) km.

 

 Remarques sur la méthode

- Ératosthène fait une erreur (approximation ?) conséquente en considérant que Syène et Alexandrie sont toutes deux sur un grand cercle de la Terre, erreur peut-être heureusement compensée par les mesures imprécises de la distance entre Syène et Alexandrie.

- Ératosthène, en supposant que les rayons du soleil pointent parallèlement n’importe où sur Terre, utilise admirablement le procédé de modélisation scientifique.

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